Dès l'époque secondaire, les mollusques construisaient leur coquille en suivant les leçons de la géométrie transcendantale. "

Gaston Bachelard

Quelques bases de Géométrie

Je vous propose ici et dans les pages suivantes les fondamentaux de géométrie ainsi que des notions de proportion qui amènent au concept de Tracé Régulateur sur lequel je base mes constructions. Cet Art du Trait est issue du savoir faire ancestral des Bâtisseurs, j'y reviendrai plus tard pour de plus amples explications.
Ceci n'a pas pour vocation d'être un cours de géométrie, loin de là, et a pour seuls buts d'apporter un éclairage sur mon travail et d'amener un regard symbolique sur cette science, ce regard qu'elle a perdu dans nos livres d'école... à mon goût. En outre, ces pages sont surtout pour celles et ceux qui ont gardé un désagréable souvenir d'heures inexplicablement longues au fond d'une salle de classe et qui, par cette occasion pourrait se réconcilier avec la dite géométrie.

Pour démarrer, voici un rappel sur la nomenclature ainsi que sur le travail au compas car la géométrie n'a besoin que de trois instruments, à savoir :

une règle (la graduation est inutile ici)
un compas à molette (servant à tracer des cercles et reporter des longueurs)
un crayon gris (ou critérium O,3mm) HB voire légèrement sec (H, 2H) et surtout très bien affuté (on peut utiliser pour l'affutage un bout de papier de verre fin 180, collé sur un morceau de bois afin d'avoir une surface bien plane).

Colonne perse
[ source : Graphic History of Architecture ]

La droite et le segment La droite est infinie alors que le segment est délimité par 2 extrémités.
Les droites parallèles Ce sont 2 droites restant à écartement constant l'une de l'autre.
L'arc de cercle C'est une portion d'un cercle délimité par 2 extrémités.
Les cercles concentriques Ce sont 2 cercles ayant le même centre. Les cercles sécants Ce sont 2 cercles qui se croisent en 2 points distincts.
Les cercles tangents Ce sont 2 cercles qui se touchent en 1 seul point. On distingue les cercles tangents intérieur et les cercles tangents exterieur.
La terminologie du cercle A. le centre : point se situant à égale distance des points de la circonférence B. le rayon : segment reliant le centre à 1 point de la circonférence C. le diamètre : segment reliant 2 points de la circonférence et passant par le centre D. la corde : segment reliant 2 points de la circonférence sans passer par le centre E. l'arc : portion de la circonférence coupé par une corde F. la flèche : perpendiculaire élevée au milieu d'une corde qui rejoint l'arc G. la sécante : droite qui coupe la circonférence en 2 points H. la tangente : droite qui touche la circonférence en 1 seul point
Les ouvertures d'angle Le degré (noté °) est une des unités de mesure d'angle, un cercle contient 360 degrés. Respectivement : l'angle droit de valeur 90°, l'angle aigu entre 0 et 90°, l'angle obtu entre 90 et 180°. L'angle nul a pour valeur 0° et l'angle plat, 180°.
Association d'angle 2 ou plusieurs angles dont leur valeur cumulée vaut un angle droit sont des angles complémentaires. Si leur valeur cumulée vaut un angle plat, alors ce sont des angles supplémentaires.
Angle inscrit, angle au centre L'angle vert est dit inscrit, son sommet se trouve sur le cercle. L'angle rouge est appelé angle au centre, son sommet est le centre du cercle.
Formes inscrites, circonscrites Le carré rouge est circonscrit au cercle bleu qui est circonscrit au triangle vert. Le triangle vert est inscrit dans le cercle bleu qui est lui-même inscrit dans le carré rouge.

Maintenant, un peu de tracé, ces rudiments vont nous permettre de réaliser des constructions plus élaborées dans les pages suivantes :

Les parallèles La droite tangente aux 2 cercles de même taille est parallèle à la droite qui passe par les centres des cercles. L'écartement entre les 2 droites est égal au rayon des cercles.
La bissectrice Elle coupe un angle en son sommet et forme 2 angles égaux. Tracer d'abord un cercle (orange) de rayon quelconque et de centre le sommet de l'angle à diviser. Puis tracer 2 cercles (verts) de même rayon dont les centres sont les intersections du 1er cercle avec les 2 cotés de l'angle. La bissectrice bleue passe par les intersections des cercles verts.
Les angles de 60° et 30° et 15° D'abord, tracer un segment qui deviendra la base d'un triangle équilatéral (3 cotés et 3 angles égaux). Le sommet est obtenu par l'intersection de 2 cercles de rayon la longueur du segment et de centres ses extrémités. On obtient alors un angle de 60° (vert), c'est la valeur des angles du triangle équilatéral. Tracer la bissectrice pour avoir un angle de 30° (bleu). 2ème tracé : Avec une autre bissectrice, nous avons donc un angle de 15° (rouge).
L'angle droit 1ère méthode. au milieu d'une feuille : Tracer tout simplement la bissectrice d'un angle plat. Avec la méthode des bissectrices successives (figures précédentes) on obtient des angles de 270°, 135°, 45°, 22,5° etc...
2ème méthode. au bord d'une feuille : Construire d'abord un triangle équilatéral (rouge). Puis prolonger un de ses côtés (bleu). Le cercle vert de centre le sommet du triangle et de rayon le coté de celui-ci coupe la droite bleue. Le segment bleu obtenu est de même longueur que le côté du triangle. On a créé un triangle isocèle (2 cotés égaux et 2 angles égaux à la base) formé par les cotés rouge, bleu et noir, d'angle au sommet 120° (180-60) et 30° à la base (la somme des angles d'un triangle vaut 180° : 180-120=60, 60/2=30°). On a alors obtenu 2 angles complémentaires : angle du triangle équilatéral (60°) + angle à la base du triangle isocèle (30°), 60+30=90°. Les 2 droites noires se coupent donc en angle droit.
Retrouver le centre d'un cercle Il suffit de 3 points sur un cercle pour retrouver son centre. Tracer pour cela 2 cordes (rouge) puis leur médiatrices (bleue). Elles ont la propriétés d'être des rayons, de ce fait, leur intersection passe par le centre du cercle.
Partager également un segment On veut diviser le segment noir en 3 parties d'égale longueur. Tracer 2 cercles (vert) identiques à ses extrémités. Tracer les droites (bleues) qui passent par une des extrémités du segment et tangentes au cercle opposé, de telle sorte que les droites soient parallèles. D'une ouverture de compas quelconque, reporter 3 fois l'écartement (orange) sur les droites bleues. Enfin, relier respectivement les points opposés entre eux. Le segment noir est ainsi partagé en 3 parties égales.
Raccourcis d'écriture Dans les constructions plus complexes qui vont suivre et afin qu'elles soient moins fournies, je noterai un arc de cercle (rouge) comme ceci, avec son centre O (que je n'écrirai pas) et son rayon (flèche orange). 2 segments (bleu) de même longueur sont barrés par 1 ou plusieurs petits traits.